Discussion:Racine d'un nombre complexe

explication par e

Bonjour à tous, il est curieux que l'auteur stipule la plus grande facilité de compréhension par les exponentielles et n'utilise que la forme algébrique pour démonstration, forme qui est la moins évidente. Il serait judicieux de développer cheque méthode en commençant par les exponentielles, puis la trigonométrique en passant par la formule d'euler, puis la forme polaire (assez évidente depuis la trigo) pour ensuite aboutir à la forme algébrique en appliquant a = r*cos(têta) et ib = ir*sin(têta). Qu'en pensez-vous éventuel lecteur? Dtrake 19 janvier 2008 à 18:51 (CET)

Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 juin 2009 à 00:53 (CEST)

Réécriture de l'article du 10 juin 2009

Modification principale : [1]

• Prise en compte de la suggestion de Dtrake ;
• Ajout d'une introduction ;
• Développement sur le théorème fondamental de l'algèbre ;
• Commentaires supplémentaires demandés à Salle (d · c · b).

Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 juin 2009 à 00:53 (CEST)

En italique, commentaires de Nefbor à la réponse de Salle.

Et je reréponds en ces caractères. Salle (d) 12 juin 2009 à 12:57 (CEST)

Relecture effectuée. J'aurais tendance à mettre les racines de l'unité avant les racines n-èmes en général, puisqu'on se sert des unes pour aboutir aux autres.

C'est une possibilité. Mais toute présentation demande de trancher des choix de rédaction. J'ai préféré donner une formule générale pour les racines n-ièmes et ensuite spécialiser pour les racines de l'unité. L'important est que l'article soit suffisamment bien organisé pour que l'information soit facile d'accès.

Pour moi, la partie pour passer à un polynome de degré impair dans la preuve de Littlewood n'est pas lisible à partir de on pose $y{\sqrt[{n}]{|z|}}w$. : Veux-tu dire y=? Pourquoi n'intervient-il plus après ? Qu'est-ce que l'inégalité d'Argand ?

Oui, en plus des petites embrouilles de notation, ce n'était pas très clair. Et maintenant ? L'inégalité d'Argand est juste le principe du maximum pour 1/P, qui est contenu dans la preuve la plus connue du thm fondamental de l'algèbre.

Cela semble plus calir. J'ai corrigé encore quelques typos. J'ai aussi modifié les phrases d'intro.

Question de ma part aussi sur une preuve exclusivement algébrique de d'Alembert-Gauss : la plus algébrique que je connaisse s'appuie sur de l'analyse réelle (polynôme de degrés impairs) + théorie des corps. A quoi fais-tu référence ?

A celle-là justement. Tu sembles opposer l'application du théorème des valeurs intermédiaires à la théorie des corps. Certes, sous sa forme générale, le TVI est un énoncé équivalent à la connexité d'un espace topologique. En général, en classes préparatoires ou dans le premier cycle universitaire, le TVI est enseigner pour les fonctions d'une variable réelle (ce qui revient à démontrer la connexité des intervalles). Les deux preuves les plus populaires s'appuient respectivement sur le théorème des segments emboités (recherche des zéros par dichotomie) ou l'existence d'une borne supérieure pour les parties bornées (raisonnement par l'absurde). Ce sont là des principes qui servent à donner des constructions explicites du corps des réels R.

Pour des polynômes à coefficients réels, le théorème des valeurs intermédiaires est un résultat algébrique sur les corps ordonnés clos. Mauvaise foi de ma part ? Non, pas vraiment. Où l'analyse commence-t-elle ? Où l'algèbre finit-elle ? Là est la question.

Pour moi, l'analyse commence à partir du moment où on complète. Tu comprends donc pourquoi je tique. Bof, en tout état de cause, ce sont deux points de vue. Selon les règles de wp, il faudrait donner les divers points de vue et sourcer par des gens faisant autorité.

Compléter est un mot douteux ici, car il peut renvoyer aux suites de Cauchy. Comme tu le sais, R peut être construit de sorte que toute partie non vide bornée supérieurement possède une borne supérieure (méthode des coupures de Dedekind). La construction est ici purement algébrique.

Ta définition de l'analyse semble exclure de fait l'analyse p-adique. Mais tu as parfaitement raison : tout ceci est un point de vue sur les mathématiques existantes, elles-même en constante évolution.

Pour obtenir les nombres p-adiques, nul doute qu'une procédure de complétion puisse être utilisée, donc loin de moi l'idée d'exclure l'analyse p-adique. Cela dit, on reste d'accord sur le fait que ce sont des arguties. Salle (d) 14 juin 2009 à 14:55 (CEST)

Enfin, tu appâtes la chaland avec la question de la détermination continue des racines carrées ; cela mériterait une section entière, non ? Salle (d) 11 juin 2009 à 13:43 (CEST)

ou du moins ébauché Nefbor Udofix  -  Poukram! 11 juin 2009 à 22:11 (CEST)

Doutes

J'aimerais une référence pour comparer avec l'original la preuve rédigée dans cet article et attribuée à Littlewood. Il est dit ici "Le complexe u est une approximation de u0 pour laquelle on connait les racines d'ordre impair". Si par exemple u=1, ça (et la suite) dit qu'on connait les racines d'ordre 2q+1 de 1, ce que je trouve très déconcertant vu le contexte.

Accessoirement : pour la phrase marquée refnec (et son pendant également marqué dans théorème fondamental de l'algèbre), la ref ne semble hélas pas être Les corps quasi-algébriquement clos, Exposé No. 70 de Paul Jaffard au Séminaire Nicolas Bourbaki en 1952.

Anne Bauval (d) 17 avril 2010 à 15:58 (CEST)

Je n'ai pas la preuve originale de Littlewood mais ne s'agirait-il pas simplement d'une maladresse de rédaction : au lieu d'avoir "Le complexe u est une approximation de u₀ pour laquelle on connait les racines d'ordre impair." ne faudrait-il pas lire "Le complexe u est une approximation de u₀ pour laquelle on connait une racine d'ordre 2q+1." HB (d) 17 avril 2010 à 16:56 (CEST)

PS cependant, je ne vois là que la démonstration de l'existence d'une racine pour le polynome X^2q+1-z mais pas de toutes les racines et le raisonnement par récurrence me parait tordu : l'existence d'une racine d'ordre impair ne fait pas appel à l'hypothèse de récurrence. Donc, oui, une référence consultable serait souhaitable. HB (d) 17 avril 2010 à 17:27 (CEST)

Merci pour la première réponse ! Quant à ton PS, j'y pensais aussi et je comptais (une fois le 1er pb résolu) guérir ça de façon simple et neutre : en revenant à Théorème fondamental de l'algèbre#Preuve directe, dont le lemme est remplacé par cette ruse-ci, plutôt que de construire une racine primitive k-ième de 1. Anne Bauval (d) 17 avril 2010 à 19:23 (CEST)

On a toujours un problème quand on essaie de deviner un texte à partir d'une transcription incomplète. A la lecture du texte de Nefbor, il me semble que la seule chose que l'on peut déduire est que X^k-z possédait au moins une racine (un peu plus si k est pair). Malheureusement, ce lemme ne peut pas prouver que ce même polynôme possède k racines. la force du théorème fondamental de l'algèbre est de dire que tout polynôme de degré k possède une racine (et pas seulement ceux de la forme X^k-z) donc ce lemme à lui seul ne peut pas démontrer le théorème fondamental de l'algèbre. Il doit y avoir autre chose qui nous échappe...HB (d) 18 avril 2010 à 09:26 (CEST)

Pour moi à présent tout est clair (sauf bien sûr ce pb de source), mais je ne l'ai peut-être pas rédigé assez clairement ? Dans Théorème fondamental de l'algèbre#Preuve directe on n'a besoin que d'une racine (3ème partie, 1ère phrase : "ici c désigne un complexe tel que c^k soit égal au produit de -b0 et du conjugué de bk"). Ce lemme remplace la première partie de cette démonstration du théo (car cette partie utilise Moivre). Anne Bauval (d) 18 avril 2010 à 12:10 (CEST)

Non, on ne peut rien contre les gens stupides comme moi qui ne lisent pas complètement les démonstrations...Ta rédaction est très claire : la preuve de Littlewood reprend la démonstration de D'alembert Argand et Cauchy mais remplace la première étape (existence d'une racine kième pour chaque nombre complexe) par une démonstration ne faisant pas appel à la formule de Moivre. Peut-être ajouter à la fin de la démonstration, une phrase du style, "ce résultat établi, la démonstration se poursuit de manière identique à [[[théorème fondamental de l'algèbre#Preuve directe|celle donnée par d'Alembert et corrigée par Argand et Cauchy]]". Merci de ta patience. HB (d) 18 avril 2010 à 13:13 (CEST)

Nouveaux doutes

Après mes rectifications et compléments récents, il me semble que la preuve de Littlewood devrait être mise en boîte : elle n'apporte rien de plus — cf. note 5 — que le nouveau § Construction par récurrence sur la 2-valuation de k. Anne (discuter) 2 juillet 2014 à 20:50 (CEST)